RACIOCÍNIO LÓGICO

RACIOCÍNIO LÓGICO

Lógica

Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudonão é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis dopensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência).

SegundoIrving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, poisa sua ideia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.

Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bemcomo o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas premissasou conclusões.

DEFINIÇÃO:

Proposição:

Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos queexprimem um pensamento de sentido completo.

Sendo assim, vejamos os exemplos:

a) O curso Pré-Fiscal fica em São Paulo.

b) O Brasil é um País da América do Sul.

c) A Receita Federal pertence ao poder judiciário.

Evidente que você já percebeu que as proposições podem assumir os valores falsos ou verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realidade, e também observamos que uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, e portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como:

“Pedro é maior que Carlos”, ou podemos expressar também por “Carlos é menor que

Pedro”.

Em resumo, teremos dois princípios no caso das proposições:

1 – Princípio da não-contradição:

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

2 – Princípio do Terceiro Excluído:

Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.

Logo, voltando ao exemplo anterior temos:

a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo”é um proposição verdadeira.

b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.

c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.

As proposição serão representadas por letras do alfabeto:

a, b, c, . . . , p, q, . . .

As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas.

Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não”

Ù corresponde a “e”

Ú corresponde a “ou”

Þ corresponde a “então”

Û corresponde a “se somente se”

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

• Conjunções: a Ùb(lê-se: a e b)

• Disjunções: a Úb(lê-se: a ou b)

• Condicionais: a Þb(lê-se: se a então b)

•Bicondicionais: a Ûb(lê-se: a se somente se b)

Exemplo:

Seja a sentença:

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:

p = “Cacilda é estudiosa”

q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:

Se p então q ( ou p Þq )

TABELA VERDADE

Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo.

a.      Valor verdade de NP

P	P
V	F
F	V

A negação da proposiçãoNP é a proposição P, de maneira que se P é verdade entãoNP é falso, e vice-versa.

b.Valor verdade de PÙQ

P	Q	PÙQ
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

O valor verdade da molécula PÙQ é tal que VAL (PÙQ) é verdade se somente se

VAL (P) e VAL (Q) são verdades.

c. Valor verdade de PÚQ

P	Q	PÚQ
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

O valor verdade da molécula PÚQ é tal que VAL (PÚQ) é falso se somente se VAL

(P) e VAL (Q) são falsos.

d. Valor verdade de P ÞQ

P	Q	P ÞQ
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

O valor verdade da molécula PÞQ é tal que VAL (PÞQ) = F se somente seVAL (P) = V e VAL (Q) = F

a a Ù b a Ú b a Þb a Ûb

e. Valor verdade de PÛQ

P	Q	PÛQ
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

O valor verdade da molécula PÛQ é tal que VAL ( PÛQ ) = V se somente seVAL (P) e VAL (Q) tem os mesmos valores verdades.

Então teremos a tabela verdade completa da seguinte forma:

Moléculas		N a	a Ù b	a Ú b	a Þ b	a Û b
a	b
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

Exemplo

Determinar o valor verdade da sentença (PÙQ) ÞR

Sabendo que VAL (P) = V, VAL (Q) = V e VAL (R) = F

Solução

P	Q	R	PÙQ	(PÙQ) ÞR
V	V	V	V	V
V	V	F	V	F
V	F	V	F	V
F	V	V	F	V
V	F	F	F	V
F	V	F	F	V
F	F	V	F	V
F	F	F	F	V

Logo analisando a tabela acima temos VAL ((PÙQ)ÞR) = F

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EXERCÍCIOS

a.        Determine o valor verdade da sentença

b.Sabendo-se que

VAL(A) = V, VAL(B) = F e VAL (C) = V

Resposta:

Obs.: Doravante nos exercícios usaremos a notação VAL(X) para representar o valor verdade de X.

b. Determinar o valor verdade da sentença

Sabendo que:

VAL(A) = V, VAL(B) = F, VAL(C) = F, VAL(D) = V

Resposta:

TAUTOLOGIA

São moléculas que possuem cada uma delas o seuvalor verdade sempre verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem.

Exemplo

a.(p Þq) Û ( NpÚq) é uma tautologia pois

p	q	p Þq	(NpÚq)	(p Þq) Û ( NpÚq)
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

CONTRADIÇÕES

São moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposições

(átomos).

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Exemplo

a.      pÛ Np é uma contradição pois

p	Np	pÛ Np
V	F	F
F	V	F

CONTINGÊNCIA

São moléculas em que os valores lógicos independem dos valores das proposições(átomos)

EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade.

Exemplo

pÞq é equivalente a NpÚq

p	q	p Þq	NpÚq
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

ARGUMENTOS

Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição.

Isto é, o conjunto de proposições p1, p2, p3, . . . , pnque tem como consequência outraproposição q.

Chamaremos as proposiçõesp1, p2, p3, . . . , pnde premissas do argumento, e aproposiçãoq de conclusão do argumento.

Podemos representar por:

p1

p2

p3

.

.

.

Pn

_________

\ q

Exemplos:

1. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.

Passei no concurso _______________ \ Irei Trabalhar

2. Se ele me ama então casa comigo.

Ele me ama __________________ \ Ele casa comigo

3. Todos os brasileiro são humanos.

Todos os paulistas são brasileiro. ______________________________ \ Todos os paulistas são humanos

Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho . __________________________________ \ Todos os jogadores receberão o bicho

NOTAÇÃO: No caso geral representaremos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes.

Veja exemplo

Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.

Todos os sabões são sais de sódio __________________________________ Conclusão: \ Todos os sabões são substâncias solúveis em água.

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VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Conforme citamos anteriormente uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido.

A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura)lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas.

Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.

Exemplo:

Todos os apartamentos são pequenos. ( V ) Todos os apartamentos são residências. ( V ) \ Algumas residências são pequenas. ( V )

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo:

Todos os peixes têm asas. ( F ) Todos os pássaros são peixes. ( F ) \ Todos os pássaros têm asas. ( V )

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo:

Todos os peixes têm asas. ( F ) Todos os cães são peixes. ( F ) \ Todos os cães têm asas. ( F )

Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam.

Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento é não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa.

Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.Exemplos:

Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. \ Todas as princesas são bonitas.

Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento acima é válido. Vamos substituir mulheres, bonitas e princesaspor A, B e C respectivamente e teremos:

Todos os A são B. Todos os C são A. \ Todos os C são B.

Logo o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C e portanto a validade é consequência da forma do argumento. O atributo Validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

Os argumentos são divididos em dois grupos:

• dedutivos

• indutivos

O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo:

Todo ser humano têm mãe. Todos os homens são humanos. \ Todos os homens têm mãe.

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O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões. Exemplo:

O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol. O Cruzeiro é um bom time de futebol. \ Todos os times brasileiros de futebol são bons.

Portanto nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentosválidos ou não válidos para argumentos indutivos.

ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOS

Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aosargumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.

O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente”, (também conhecido como modus ponens).

Então vejamos:

Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi reprovado no concurso. \ José será demitido do serviço.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

Se p então q. P ___________ \ q

ou

p Þ q p ______ \ q

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Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como modus tollens).

Obs.: Vimos nas páginas anteriores que pq é equivalente a q p. Esta equivalência

é chamada de contra-positiva. Exemplo:

“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”.

Então vejamos o exemplo do modus tollens.

• Se aumentamos os meios de pagamentos, então haverá inflação. • Não há inflação \ Não aumentamos os meios de pagamentos.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

• Se p então q. • Nq ____________ \ Np

ou

p Þq • Nq ___________ \ Np

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilema. Geralmenteeste argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis.

Exemplo:

João se inscreveu no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus

colegas de trabalho estão torcendo por ele.

Eis o dilema de João:

• Ou João passa ou não passa no concurso.

– Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.

– Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho.

\Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos Colegas de trabalho.

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Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

ou p ou q

• Se p, então r

• Se q, então s

\ou r ou s

ou ( p Ù q )Ú( q Ù p )

p Þr

q Þs

\( r Ù s )Ú( r Ùs )

ARGUMENTOS DEDUTIVOS NÃO VÁLIDOS

Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissasde qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão.

Assim podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém as premissas não sustentam a conclusão.

Exemplo:

Todos os mamíferos são mortais. ( V ) Todos os gatos são mortais. ( V ) \ Todos os gatos são mamíferos. ( V )

Este argumento tem a forma:

Todos os A são B Todos os C são B \ Todos os C são A

Podemos facilmente mostrar que este argumento é não-válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.

Todos os mamíferos são mortais. ( V ) Todos os as cobras são mortais. ( V ) \ Todas as cobras são mamíferas. ( F )

Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca pode ocorrer que o argumento seja válido, então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias.

A seguir examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência.

O primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de“falácia da afirmação do consequente”.

Por exemplo:

Se ele me ama então ele casa comigo. Ele casa comigo. \ Ele me ama.

Podemos escrever este argumento como:

Se p então q q __________ \ p

ou

p Þ q q \p

Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Outra falácia que ocorre com frequência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”. Exemplo:

Se João parar de fumar ele engordará. João não parou de fumar. \ João não engordará.

Observe que temos a forma:

Se p então q p \ q

15ou

p Þq p \ q

Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

PROPOSIÇÕES UNIVERSAIS E PARTICULARES

As proposições serão classificadas em:

• universais

• particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se a totalidade do conjunto.

Exemplo:

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “todo S é P”.

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.

Exemplo:

“O cão é mamífero”.

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto.

Exemplo:

“Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

PROPOSIÇÕES AFIRMATIVAS E NEGATIVAS

As proposições também se classificam em:

• afirmativas

• negativas

No caso de negativa podemos ter:

1. “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”.

2. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.

Chamaremos então de proposição categórica na forma típica as proposições dos tipos:

“Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

SILOGISMO CATEGÓRICO DE FORMA TÍPICA

Chamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumento formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica ( A, E, I, O ).

Teremos também três termos:

• Termo menor – sujeito da conclusão.

• Termo maior – predicado da conclusão.

• Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão.

Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor.

Exemplo:

Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. __________________________ \ Todas as princesas são bonitas.

Termo menor: as princesas

Termo maior: bonitas

Termo médio: mulheres

Premissa menor: todas as princesas são mulheres.

Premissa maior: todas as mulheres são bonitas.

ALGUMAS REGRAS PARA A VALIDADE DE UM SILOGISMO:

1. Todo silogismo deve conter somente três termos;

2. O termo médio deve ser universal pelo menos um vez;

3. O termo médio não pode constar na conclusão;

4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é válido.

5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão;

6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular;

7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa.

DIAGRAMA DE EULER

Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euler.

1. Todo S é P ( universal afirmativa – A )

2. Nenhum S é P ( universal negativa – E )

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Três alunos são suspeitos de não estarem matriculados no Curso de Raciocínio Lógico. O Aparecido entrevistou os três, para cobrar a matrícula, e obteve os seguintes depoimentos:

AURO: “Joaquim não pagou e Cláudia pagou”

JOAQUIM: “Se Auro não pagou, Cláudia também não pagou”

CLÁUDIA: “Eu paguei, mas pelo menos um dos outros não pagou”

Pede-se:

1. Exprimir simbolicamente os depoimentos

2. Identificar os pagantes e os não pagantes, supondo que todos os depoimentos são verdadeiros

3. Identificar os mentirosos, supondo que todos pagaram as matrículas.

Solução

a. Sejam as proposições

A = “Auro pagou a matrícula”

J = “Joaquim pagou a matrícula”

C = “Cláudia pagou a matrícula”

Depoimentos

b. Verificamos que se todos os depoimentos são verdadeiros estamos na terceira linha, logo VAL (A) = V, VAL (J) = F, VAL (C) = V

Portanto:

Os pagantes são Auro e Cláudia.

O não pagante é o Joaquim

c. Se todos pagaram a matrícula temos que VAL(A) = V, VAL(J) = V e VAL(C) = V, logo estamos na primeira linha, daí os depoimentos mentirosos são do Auro e Cláudia.

02. (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo.

a. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

b. Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

c. Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

d. Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

e. Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

Solução

Lembramos que a Contra-positiva dep®qé equivalente a q ® p.

Daí teremos,

Se Raul não briga com Carla, então Carla não fica em casa.

Se Carla não fica em casa, então Glória não vai ao cinema

Se Glória não vai ao cinema, então Beto não briga com Glória

Logo a única opção correta é:

a. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

03. (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a. Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro.

b. Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade.

c. Carlos e João são mais moços do que Pedro.

d. Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro.

e. Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.

Solução

Se Carlos não é mais velho do que Maria, então

João não é mais moço que Pedro

Se João não é mais moço que Pedro, então Maria e Julia não tem a mesma idade

Se Maria e Julia não tem a mesma idade, então

Carlos não é mais velho que Pedro

Logo, a única opção correta é:

e. Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.

04. (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Julio está enganado. Se Julio estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não ira ao cinema. Verificou-

se que Maria está certa. Logo,

a. O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido.

b.Luis e Julio não estão enganados.

c.Julio está enganado, mas Luis não.

d.Luis está enganado, mas Julio não.

e. José não irá ao cinema.

Solução

Se Maria está certa, então Julio está enganado

Se Julio está enganado, então Luis está enganado

Se Luis estiver enganado, então

O Filme não está sendo exibido.

Ora, ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao cinema.

Logo, concluímos que:

José não irá ao cinema.

Resposta “E”

O texto abaixo refere aos exercícios de 05 a 08:

Chapeuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que frequentavam a floresta.A Raposa mentia às segundas, terças e quartas-feiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outro dias da semana.

(Adaptado de Linguagem Lógica de Iole de Freitas Druck IME - USP- publicado na revista do professor de Matemática)

05. Um dia Chapeuzinho Vermelho encontrou o Raposa e o Lobo Mau descansando à sombra de uma árvore. Eles disseram:

Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir.

Lobo Mau: Ontem foi um dos meus dias de mentir.

A partir dessas afirmações, Chapeuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da semana. Qual era?

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06. Em outra ocasião Chapeuzinho Vermelho encontrou o Raposa sozinha. Ela fez as seguintes afirmações:

Eu menti ontem.

Eu mentirei daqui a 3 dias.

Qual era o dia da semana?

07. Em qual dia da semana é possível a Raposa fazer as seguintes afirmações?

Eu menti ontem.

Eu mentirei amanhã.

08. Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintes afirmações:

a) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã.

b) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã.

c) Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã.

d) Menti ontem se e somente se mentirei amanhã.

Resolução:

Problema 05

– Pela resposta da Raposa, pode ser 2ª ou 5ª.

– Pela resposta do Lobo Mau, pode ser 5ª ou domingo.

Portanto, como os dois se referiam a um mesmo dia da semana, este era quinta-feira.

Problema 06

– Por (1), o dia poderia ser 2ª ou 5ª.

– Por (2), como a Raposa mentirá 3 dias depois de hoje, hoje pode ser 2ª, 3º, 4ª, 6ª,

sábado, domingo.

Logo, o dia da semana era segunda-feira.

Problema 07

– A afirmação (1) pode ser feita 2ª ou 5ª.

– A afirmação (2) pode ser feita 4ª e domingo.

Portanto, não existe um dia na semana em que seja possível a Raposa fazer as duas afirmações.

Problema 08

a. Esta afirmação (que é uma conjunção) é uma mentira quando alguma das suas componentes for falsa, logo, como mentira, a Raposa pode afirmá-la 2ª ou 4ª. Por outro lado, ela será verdadeira somente quando suas duas componentes o forem, logo a Raposa não poderá afirmá-la em nenhum dia em que fala a verdade.

Resposta: 2ª ou 4ª (compare este exercício com Problema 05 e explique por que eles são diferentes).

b. Esta afirmação (que é uma disjunção) é mentirosa quando as suas duas componentes forem falsas, logo a Raposa não poderá afirmá-la nos dias em que mente. Por outro lado, ela será verdadeira quando pelo menos uma das suas componentes o for, assim a Raposa poderá afirmá-la na 5ª ou no domingo.

Resposta: 5ª ou domingo.

c. Esta afirmação (que é uma implicação), composta de duas outras, só é falsa quando, sendo a primeira (premissa) verdadeira, a segunda (conclusão) for falsa. Logo, a Raposa poderá afirmá-la mentirosamente somente na 4ª (na 2ª e na 3ª a afirmação é verdadeira - tabela verdade). Pelo mesmo motivo acima a Raposa não poderá dizê-lana 5ª, dia em que fala a verdade. Nos demais dias de verdade ela poderá afirmá-la(6ª, sábado e domingo), já que, a premissa sendo falsa, a implicação é verdadeira.

Resposta: 4ª, 6ª, sábado ou domingo.

d. Esta afirmação (que é uma equivalência) é verdadeira quando suas duas componentes forem verdadeiras ou quando forem as duas falsas. Assim, ela é uma mentira, dentre os dias em que a Raposa mente, somente na 2ª ou na 4ª. Dentre os dias em que ela fala a verdade , ela poderá afirmá-la somente na 6ª ou no sábado.

Resposta: 2ª, 4ª, 6ª ou sábado.

09. (AFTN/96) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tania é quem está

sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente,

a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:

a. Janete, Tânia e Angélica

b.Janete, Angélica e Tânia

c. Angélica, Janete e Tânia

d. Angélica, Tânia e Janete

e. Tânia, Angélica e Janete

Solução

Observe que só precisamos saber que a Tânia diz a verdade, as outras informações sobre Janete e Angélica não influenciam na solução.

Então vamos raciocinar: Tânia não pode estar na esquerda e nem no meio, pois senão estaria mentindo. Logo Tânia está na direita e consequentemente, a Angélica está no meio, conforme a declaraçãode Tânia. Para acabar, é evidente que Janete está à esquerda.

Resposta “B”

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10. (AFTN/96) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido; Ora, ou o filme “Fogo Contra Fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-

se que Maria está certa. Logo:

a. o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido;

b. Luís e Júlio não estão enganados;

c. Júlio está enganado, mas não Luís;

d. Luís está enganado, mas não Júlio;

e. José não irá ao cinema.

Solução

Se Maria está certa, temos:

— Júlio está enganado

— Luís está enganado

— O filme não está sendo exibido.

Como o filme está sendo exibido ou José irá ao cinema, temos que:

José não irá ao cinema

Resposta “E”

11. (AFTN/96) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,

a. Nestor e Júlia disseram a verdade

b. Nestor e Lauro mentiram

c. Raul e Lauro mentiram

d. Raul mentiu ou Lauro disse a verdade

e. Raul e Júlia mentiram.

Solução

Não há leão feroz nesta sala

— Lauro mentiu

— Raul falou a verdade

— Nestor mentiu

Logo Nestor e Lauro mentiram

Resposta “B”

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12. (AFTN/96) Sabe-se que, na equipe do X Futebol Clube (XFC), há um atacante que sempre mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meio-campista que às vezes fala a verdade e às vezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que terminara, um deles declarou: “Foi empate” o segundo disse “Não foi empate” e o terceiro falou “Nós perdemos”. O torcedor reconheceu somente o meio-campista, mas pode deduzir o resultado do jogo com certeza. A declaração do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamente,

a. “Foi empate” / o XFC venceu.

b. “Não foi empate” / empate.

c. “Nós perdemos” / o XFC perdeu.

d. “Não foi empate” / o XFC perdeu.

e. “Foi empate” / empate.

Solução

• Atacante sempre mente

• Zagueiro sempre fala a verdade

• Meio Campo às vezes mente e as vezes fala a verdade

E - Empate

NE - Não Empate

P - Perdemos

É fundamental que você não esqueça que o torcedor reconheceu o Meio Campo e pode deduzir o resultado do jogo.

É evidente que as possibilidades 1, 2, 3, 4, não poderiam ter ocorrido se ele deduziu o resultado do jogo com certeza. Além disso a possibilidade 5 é impossível, pois se o atacante falou não foi empate

então o zagueiro estaria mentindo quando falasse perdemos.

Daí só resta a possibilidade 6, onde o atacante disse perdemos e o zagueiro disse nãofoi empate, logo o XFC venceu e o meio campo disse foi empate (mentira)

Resposta “A”

13. (AFC/96) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai aocinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla.

Logo,

a. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

b. Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

c. Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

d. Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

e. Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

Solução

Se Raul não briga com Carla

Carla não fica em casa

Glória não vai ao cinema

Beto não briga com Glória

Resposta “A”

14. (AFC/96) Três irmãs — Ana Maria e Cláudia — foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu:

“Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria eCláudia eram, respectivamente,

a. preto, branco, azul;

b. preto, azul, branco

c. azul, preto, branco

d. azul, branco, preto

e. branco, azul, preto.

Solução

Basta observar que Ana fala a verdade, logo ela não poderia estar de Azul e nem de branco, pois senão estaria mentindo.

Logo Ana está de preto e como ela mesmo afirmou Cláudia está de branco.

Consequentemente Maria está de Azul

Resposta “B”

15. (AFC/96) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma

idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro.

Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então,

a. Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro.

b. Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade.

c. Carlos e João são mais moços do que Pedro.

d. Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro.

e. Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.

Solução

Carlos não é mais velho do que Maria

João não é mais moço do que Pedro

Maria e Julia não tem a mesma idade

Carlos não é mais velho do que Pedro

Resposta “E”

16. Joselias é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos outros dias da semana. Em qual dos dias da semana não é possível que o Joselias faça a seguinte afirmação: “Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã.”

a. sábado

b. domingo

c. segunda

d. terça

e. quarta

Solução:

Opção correta: B

Veja os dias da semana:

2ª Feira., 3ª Feira, 4ª Feira, 5ª Feira, 6ª Feira, sábado, domingo.

Joselias mente: 5ª Feira, 6ª Feira e sábado.

Vejamos os valores lógicos nos dias da semana:

2ª Feira temos, F F–Verdade (possível)

3ª Feira temos, F F–Verdade (possível)

4ª Feira temos, F V –Verdade (possível)

5ª Feira temos, F V –Verdade (impossível)

6ª Feira temos, V V–Verdade (impossível)

sábado temos, V F – Falso (possível)

domingo temos, V F – Falso (impossível)

Logo a opção correta será domingo.

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17. Sejam as declarações:

Se o governo é bom então não há desemprego.

Se não há desemprego então não há inflação.

Ora, se há inflação podemos concluir que:

a. A inflação não afeta o desemprego.

b. Pode haver inflação independente do governo.

c. O governo é bom e há desemprego.

d. O governo é bom e não há desemprego.

e. O governo não é bom e há desemprego.

Solução:

Opção correta: E

Se há inflação então há desemprego.

Se há desemprego então o governo não é bom.

Logo, o governo não é bom e há desemprego.

18. Joselias é um cara estranho, pois mente às quintas, sextas e sábados, mas fala a verdade nos outros dias da semana. Em qual dos dias da semana não é possível que o Joselias faça a seguinte afirmação: “Menti ontem se somente se mentirei amanhã.”

a. segunda

b. terça

c. quinta

d. sexta

e. sábado

Solução:

Opção correta: D

Sejam os dias da semana:

2ª Feira., 3ª Feira, 4ª Feira, 5ª Feira, 6ª Feira, sábado, domingo.

Joselias mente: 5ª Feira, 6ª Feira e sábado.

Vejamos os valores lógicos nos dias da semana:

2ª Feira, temos: F F – Verdade (possível)

3ª Feira, temos: F F – Verdade (possível)

4ª Feira, temos: F V – Falso (impossível)

5ª Feira, temos: F V – Falso (possível)

6ª Feira, temos: V V – Verdade (impossível)

sábado , temos: V F – Falso (possível)

domingo, temos: V F – Falso (impossível)

Logo a opção correta será sexta.

19. Sejam as declarações:

Se ele me ama então ele casa comigo.

Se ele casa comigo então não vou trabalhar.

Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:

a. Ele é pobre mas me ama.

b. Ele é rico mas é pão duro.

c. Ele não me ama e eu gosto de trabalhar.

d. Ele não casa comigo e não vou trabalhar.

e. Ele não me ama e não casa comigo.

Solução:

Opção correta: E

Vou trabalhar, então, ele não casou comigo.

Ele não casou comigo, então, não me ama.

Logo, ele não me ama e não casa comigo.

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